Ο αριθμός «π» κι εμείς

Ο αριθμός «π» κι εμείς

Η 14η Μαρτίου είναι Παγκόσμια Ημέρα της Σταθεράς π. Δυστυχώς πολλοί μαθητές δεν θυμούνται πού χρησιμοποιείται το 3,14. Λίγα χρόνια πριν, πολλοί υποψήφιοι έχασαν ολόκληρο θέμα στα Μαθηματικά στις Πανελλαδικές, επειδή δεν ήξεραν τον τύπο…

Η 14η Μαρτίου είναι Παγκόσμια Ημέρα της Σταθεράς π.

Δυστυχώς πολλοί μαθητές δεν θυμούνται πού χρησιμοποιείται το 3,14.

Λίγα χρόνια πριν, πολλοί υποψήφιοι έχασαν ολόκληρο θέμα στα Μαθηματικά στις Πανελλαδικές, επειδή δεν ήξεραν τον τύπο για την περίμετρο του κύκλου καθότι ήταν σε ύλη προηγούμενων τάξεων!  Η 14η Μαρτίου έχει καθιερωθεί ως η Ημέρα του Π, επειδή, σύμφωνα με τον αμερικανικό τρόπο γραφής των ημερομηνιών, προηγείται ο μήνας (Μάρτιος, 3) και ακολουθεί η ημέρα (14), άρα με ένα κόμμα δώρο παίρνουμε 3,14 που είναι τα πρώτα ψηφία του π.

Πέρα από το πλήθος εφαρμογών του αριθμού, που εκφράζει τον λόγο του μήκους της περιφέρειας του κύκλου προς την διάμετρό του, η μεγάλη σημασία του (ως σταθεράς) έγκειται στο ότι δείχνει πως στην φύση υπάρχει ενσωματωμένη μία μαθηματική δομή, όντας επιπλέον άρρητος.

Επιπλέον, η σταδιακή προσέγγιση της τιμής του, από την αρχική τιμή που φαίνεται πως είναι γνωστή στους Βαβυλώνιους, τους Αιγύπτιους και τους Έλληνες, το 3, αποτελεί ένα παράδειγμα επιστημονικής προόδου, στην οποία έχουν συνεισφέρει μαθηματικοί από πολλές χώρες, προσδιορίζοντας όλο και περισσότερα ψηφία μέσα από μία σειρά εντυπωσιακών μαθηματικών τρόπων, ξεκινώντας από την μέθοδο του Αρχιμήδη, που «έφραξε» τον κύκλο ανάμεσα σε ένα εγγεγραμμένο και ένα περιγεγραμμένο κανονικό πολύγωνο (όπου, όσο αυξάνεται ο αριθμός των πλευρών, τόσο η περίμετρος του εγγεγραμμένου μεγαλώνει και του περιγεγραμμένου μικραίνει, προσεγγίζοντας την περιφέρεια του κύκλου).

Οι υπολογισμοί γίνονταν με το χέρι, μέχρι που ήρθαν οι υπολογιστές. Ετσι, ο Φον Νόιμαν υπολόγισε με τον περίφημο ΕΝΙΑC 2037 ψηφία, ενώ τώρα έχουμε ξεπεράσει τα 12 τρισεκατομμύρια ψηφία.

Εχει επίσης ενδιαφέρον ότι το γράμμα «π» δεν δόθηκε από τον Αρχιμήδη, ο οποίος προσδιόρισε την τιμή του κοντά στο 22/7, αλλά από τον Ουαλό μαθηματικό Γουίλιαμ Τζόουνς (το 1706), από την Ελληνική λέξη περιφέρεια (ενώ τώρα οι Έλληνες φοιτητές και μαθητές το σύμβολο του αθροίσματος που διεθνώς είναι Σ – και προφέρεται έξω ως sigma – το προφέρουν ως S!) και καθιερώθηκε όταν από το 1737 άρχισε να το χρησιμοποιεί ο Ελβετός μαθηματικός Λέοναρντ Όιλερ.

Βέβαια, πολύ περισσότερο από την προέλευση του ονόματος του αριθμού «π» θα έπρεπε να μας ενδιαφέρει το ότι καθώς περνάνε τα χρόνια, η υποβάθμιση των αποδείξεων που μαθαίνουν οι μαθητές στην ελληνική δευτεροβάθμια εκπαίδευση (μεταξύ των οποίων και οι βασικές αρχές του υπολογισμού τού «π» από τον Αρχιμήδη) οδηγεί σε προεπιστημονικές εποχές όπου εφαρμόζονταν τεχνικές χωρίς δυνατότητα λογικής αιτιολόγησης.

Ακόμα χειρότερα, φαίνεται ότι πολλοί μαθητές δεν θυμούνται πλέον ούτε τους τύπους όπου χρησιμοποιείται το «π», όπως το εμβαδόν και το μήκος της περιφέρειας του κύκλου. Και για να μην θεωρηθούν υπερβολικά όσα σας γράφω, λίγα χρόνια πριν, πολλοί μαθητές έχασαν ολόκληρο θέμα στα Μαθηματικά στις Πανελλαδικές, επειδή δεν ήξεραν τον τύπο για το μήκος της περιφέρειας του κύκλου (L = 2πρ), καθότι ήταν σε ύλη προηγούμενων τάξεων!

Γίνεται έτσι επίκαιρο ένα αστείο του Αρκά, όπου ρωτάει ο καθηγητής τα παιδιά στο σχολείο, «ποια είναι η τιμή του π;» και απαντάει ένας μαθητής 3,14, οπότε πετάγεται ένας άλλος «εμένα η γιαγιά μου το πλήρωσε πολύ ακριβότερα»! Σε λίγο το δύο πι αρ θα σημαίνει, για την πλειοψηφία, δύο άτομα στις δημόσιες σχέσεις!

@Κωνσταντίνος Καραλής

***

Το π και το άπειρο

Ο π είναι ένας άρρητος αριθμός, κάτι που σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ακριβώς ως λόγος δύο ακεραίων (όπως 22/7 ή άλλα κλάσματα που χρησιμοποιούνται συνήθως για την προσέγγιση του π). Κατά συνέπεια, η δεκαδική απεικόνιση δεν τελειώνει ποτέ και ποτέ δεν καθίσταται μια μόνιμη και επαναλαμβανόμενη παράσταση. Τα ψηφία φαίνεται να εμφανίζονται με τυχαία σειρά, αν και δεν έχει ανακαλυφθεί ακόμη κάποια απόδειξη για αυτό. Ο π είναι ένας υπερβατικός αριθμός, δηλαδή δεν αποτελεί ρίζα ενός μη-μηδενικού πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές. Αυτό έχει σαν συνέπεια ότι είναι αδύνατο να λυθεί το αρχαίο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου με κανόνα και διαβήτη.

Για χιλιάδες χρόνια, μαθηματικοί προσπάθησαν να επεκτείνουν την κατανόησή τους πάνω στο π, κάποιες φορές με τον υπολογισμό της τιμής του με υψηλό βαθμό ακρίβειας. Πριν από τον 15ο αιώνα, μαθηματικοί όπως ο Αρχιμήδης και ο Liu Hui χρησιμοποίησαν γεωμετρικές τεχνικές βασιζόμενες σε πολύγωνα, για να υπολογίσουν την αξία του π. Περί τον 15ο αιώνα νέοι αλγόριθμοι βασιζόμενοι σε άπειρες σειρές υπολογίζουν τον αριθμό π με μεγαλύτερη ακρίβεια και χρησιμοποιούνται από μαθηματικούς όπως ο Madhava της Sangamagrama, ο Ισαάκ Νιούτον, ο Λέοναρντ Όιλερ, ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους, και ο Σρινιβάσα Ραμανούτζαν.

Τον 20ο και 21ο αιώνα, μαθηματικοί και πληροφορικοί ανακάλυψαν νέες προσεγγίσεις που, όταν συνδυάζονται με την αυξημένη υπολογιστική ισχύ, επεκτείνουν την δεκαδική απεικόνιση του π πάνω από 10 τρισεκατομμύρια (1013) ψηφία (2011). Οι επιστημονικές εφαρμογές δεν απαιτούν γενικά περισσότερα από 40 ψηφία του π και έτσι το πρωταρχικό κίνητρο για αυτούς τους υπολογισμούς είναι η ανθρώπινη επιθυμία να σπάει ρεκόρ. Οι πολύπλοκοι υπολογισμοί που εμπλέκονται στον υπολογισμό των ψηφίων του π έχουν χρησιμοποιηθεί για την δοκιμή υπερυπολογιστών, καθώς και αλγορίθμων πολλαπλασιασμού υψηλής ακρίβειας.

Το π βρίσκεται σε πολλούς τύπους της τριγωνομετρίας και της γεωμετρίας, ειδικά όσον αφορά κύκλους, ελλείψεις ή σφαίρες. Βρίσκεται επίσης και σε διάφορους τύπους από άλλους κλάδους της επιστήμης, όπως η Κοσμολογία, η Θεωρία των αριθμών, η Στατιστική, τα fractals, η θερμοδυναμική, η μηχανική, και ο ηλεκτρομαγνητισμός. Ο καθολικός χαρακτήρας του π τον καθιστά μια από τις πιο ευρέως γνωστές μαθηματικές σταθερές, τόσο εντός όσο και εκτός της επιστημονικής κοινότητας και έχει αποτελέσει θέμα λογοτεχνικών βιβλίων. Ο αριθμός γιορτάζεται την «ημέρα του π» και ρεκόρ υπολογισμού των ψηφίων του π συχνά αναφέρονται σε τίτλους ειδήσεων. Αρκετοί άνθρωποι προσπάθησαν να απομνημονεύσουν την τιμή του π με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια, οδηγώντας σε ρεκόρ απομνημόνευσης πάνω από 67.000 ψηφία.

Το π είναι ένας άρρητος αριθμός, που σημαίνει ότι αυτός δεν μπορεί να γραφεί ως πηλίκο δύο ακεραίων, ή άλλα κλάσματα που χρησιμοποιούνται συνήθως για την προσέγγισή του. Δεδομένου ότι το π είναι άρρητος, έχει έναν άπειρο αριθμό ψηφίων σε δεκαδική αναπαράσταση, και αυτό δεν τελειώνει με μια απείρως επαναλαμβανόμενη σειρά ψηφίων. Υπάρχουν αρκετές αποδείξεις ότι το π είναι άρρητος οι οποίες γενικά απαιτούν λογισμό και επικαλούνται την εις άτοπον απαγωγή. Ο βαθμός στον οποίο μπορεί το π να είναι προσεγγιστικά ρητός αριθμός (που ονομάζεται το μέτρο της αρρητότητας) δεν είναι ακριβώς γνωστό· εκτιμήσεις καθόρισαν ότι το μέτρο της αρρητότητας είναι μεγαλύτερο από το μέτρο του e, αλλά μικρότερο από το μέτρο των αριθμών του Liouville.

Επειδή ο π είναι υπερβατικός αριθμός, ο Τετραγωνισμός του κύκλου δεν είναι δυνατός σε ένα πεπερασμένο πλήθος βημάτων χρησιμοποιώντας τα κλασικά εργαλεία του κανόνα και διαβήτη.

Ο π είναι ένας υπερβατικός αριθμός, πράγμα που σημαίνει πως δεν είναι λύση κάποιου μη-σταθερού πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές.

Πρώτον, ο π δεν μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε συνδυασμό ρητών και τετραγωνικών αριθμών ή νιοστών ριζών όπως 31 3

Δεύτερον, δεδομένου ότι δεν μπορεί να κατασκευαστεί κάποιος υπερβατικός με κανόνα και διαβήτη, δεν είναι δυνατόν να “τετραγωνιστεί ο κύκλος”. Με άλλα λόγια, είναι αδύνατο να κατασκευάσουμε, χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη, ένα τετράγωνο του οποίου η περιοχή είναι ίση προς την έκταση ενός δεδομένου κύκλου. Ο τετραγωνισμός του κύκλου ήταν ένα από τα σημαντικότερα γεωμετρικά προβλήματα της κλασικής αρχαιότητας. Ερασιτέχνες μαθηματικοί στην σύγχρονη εποχή μερικές φορές προσπάθησαν να τετραγωνίσουν τον κύκλο, και μερικές φορές ισχυρίζονταν επιτυχία, παρά το γεγονός ότι είναι αδύνατο.

Τα ψηφία του π δεν έχουν κάποιο προφανές πρότυπο και δεν έχουν περάσει εξετάσεις για στατιστική τυχαιότητα περιλαμβανομένων δοκιμών για ομαλότητα· ένας αριθμός απείρου μήκους ονομάζεται κανονικός όταν όλες οι πιθανές ακολουθίες των ψηφίων (από κάθε συγκεκριμένο μήκος) εμφανίζονται εξίσου συχνά. Αυτή η υπόθεση ότι το π είναι κανονικός δεν έχει αποδειχθεί ή διαψευσθεί. Μετά την έλευση των υπολογιστών, ένα μεγάλος αριθμός ψηφίων του π ήταν διαθέσιμος για να εκτελέσουμε στατιστικές αναλύσεις.

Ο Yasumasa Kanada έχει εκτελέσει λεπτομερειακώς στατιστικές αναλύσεις για τα δεκαδικά ψηφία του π· για παράδειγμα, η συχνότητα των δέκα ψηφίων 0 έως 9 υποβλήθηκαν σε στατιστική σημασία δοκιμές, και δεν βρέθηκε κάποια απόδειξη για ένα μοτίβο. Παρά το γεγονός ότι τα ψηφία του π πέρασαν από στατιστικούς ελέγχους για την τυχαιότητα, ο π περιέχει ορισμένες ακολουθίες ψηφίων που ενδέχεται να εμφανιστούν μη-τυχαία στους μη-μαθηματικούς, όπως το σημείο Feynman, που ξεκινά από το 762ο δεκαδικό ψηφίο της δεκαδικής απεικόνισης του π.

Όπως όλους τους άρρητους αριθμούς, ο π δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως απλό κλάσμα. Αλλά κάθε άρρητος αριθμός, συμπεριλαμβανομένου του π, μπορεί να εκπροσωπηθεί από μια άπειρη σειρά ένθετων κλασμάτων, που ονομάζεται συνεχόμενο κλάσμα.

Η Μεγάλη Πυραμίδα στην Γκίζα, κατασκευασμένη το 2589–2566 π.κ.ε. χτίστηκε με περίμετρο περίπου 1760 πήχεις και ύψος περίπου 280 πήχεις· η αναλογία 1760 280 ≈ 6.2857 είναι περίπου ίση με 2 π ≈ 6.2832. Με βάση αυτή την αναλογία, κάποιοι Αιγυπτιολόγοι κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι οι οικοδόμοι της πυραμίδας είχαν γνώση του π και σκόπιμα σχεδίασαν την πυραμίδα για να ενσωματώσουν τις αναλογίες του κύκλου. Άλλοι ισχυρίζονται πως η προτεινόμενη πρόταση του π είναι απλώς μια σύμπτωση, επειδή δεν υπάρχει κάποια απόδειξη ότι οι οικοδόμοι της πυραμίδας γνώριζαν το π, και επειδή οι διαστάσεις της πυραμίδας βασίζονται σε άλλους παράγοντες.

Οι παλαιότερες γραπτές προσεγγίσεις του π βρίσκονται στην Αίγυπτο και τη Βαβυλώνα, απέχουν ένα τοις εκατό από την πραγματική αξία. Στη Βαβυλώνα, ένας δίσκος της χρονολογείται το 1900–1600 π.κ.ε. έχει μια γεωμετρική δήλωση που, κατ’ επέκταση, αντιμετωπίζει τον π ως 25/8 = 3.1250. Στην Αίγυπτο, ο Πάπυρος Rhind , χρονολογείται γύρω στο 1650 π.κ.ε., αλλά έχει αντιγραφεί από ένα έγγραφο που χρονολογείται το 1850 π.κ.ε. έχει ένα τύπο που την αντιμετωπίζει την σταθερά π ως (16/9)2 ≈ 3.1605.

Στην Ινδία γύρω στο 600 π.κ.ε. το Shulba Sutras (σανσκριτικά κείμενα που είναι πλούσια σε μαθηματικό περιεχόμενο) εξομοιώνει τον π με (9785/5568)2 ≈ 3.088. Το 150 π.κ.ε. ή ίσως νωρίτερα, ινδικές πηγές θεωρούν τον π ως 10 ≈ 3.1622.

Δύο στίχοι της Εβραϊκής Βίβλου (γράφτηκε περίπου στον 8ο και 3ο αιώνα π.κ.ε.) περιγράφει μια τελετουργική λεκάνη στο Ναό του Σολομώντα με διάμετρο δέκα πήχεις και η περίμετρός του τριάκοντα πήχεις· Οι στίχοι υποδηλώνουν ότι ο π είναι περίπου τρία αν η λεκάνη είναι κυκλική. Ο Rabbi Nehemiah εξήγησε την διαφορά ως λόγω του πάχους του σκάφους. Το πρώιμο έργο της γεωμετρίας, Mishnat ha-Middot, γράφτηκε γύρω στο 150 μ.κ.ε. και παίρνει την τιμή του π για να είναι τρία κι ένα έβδομο.

Το άπειρο (σύμβολο: ∞) είναι αφηρημένη έννοια που περιγράφει κάτι χωρίς κανένα όριο και έχει σημασία σε μια σειρά από επιστήμες, κυρίως τα μαθηματικά και τη φυσική. Η λέξη άπειρο προέρχεται από το στερητικό πρόθεμα “α-” και την λέξη “πέρας” που σημαίνει τέλος. Αναφέρεται σε διαφορετικές έννοιες (που συνήθως συνδέονται με την έννοια του “χωρίς τέλος”) που προκύπτουν στην φιλοσοφία, τα μαθηματικά και την θεολογία.

Στα μαθηματικά, το “άπειρο” χρησιμοποιείται συνήθως σε περιπτώσεις όπου αντιμετωπίζεται σαν να ήταν αριθμός (δηλαδή για την σειρά ή το μέγεθος κάποιου πράγματος, π.χ. “άπειρος αριθμός στοιχείων”) αλλά είναι διαφορετικό είδος αριθμού από τους πραγματικούς αριθμούς. Το άπειρο βρίσκεται στα όρια, στους αριθμούς άλεφ, στις τάξεις της θεωρίας συνόλων, στα Ντέντεκιντ-άπειρα σύνολα, στο παράδοξο του Ράσελ, στην μην καθιερωμένη αριθμητική, στους υπερπραγματικούς αριθμούς, στην προβολική γεωμετρία, στο εκτεταμένο σύστημα πραγματικών αριθμών και στο απόλυτο άπειρο του Κάντορ.

Ο Γκέοργκ Κάντορ επισημοποίησε πολλές ιδέες που σχετίζονται με το άπειρο και τις άπειρες σειρές κατά τα τέλη του 19ου και στις αρχές του 20ού αιώνα. Στην θεωρία που ανέπτυξε, υπάρχουν άπειρες σειρές διαφόρων μεγεθών (πληθικότητα). Για παράδειγμα, το σύνολο των ακεραίων είναι αριθμήσιμο, ενώ το άπειρο σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο.

Οι αρχαίοι πολιτισμοί είχαν διάφορες ιδέες για την φύση του απείρου.

Οι αρχαίοι Ινδοί και οι αρχαίοι Έλληνες δεν ορίζουν το άπειρο με ακριβή φορμαλισμό όπως και οι σύγχρονοι μαθηματικοί, και αντ’ αυτού προσεγγίζουν το άπειρο ως φιλοσοφική έννοια.
Μεσοποταμία

Στο Έπος του Γκιλγκαμές ο ήρωας Γκιλγκαμές, αναρρώνοντας από την προοπτική του δικού του θανάτου, αφού είδε το θάνατο του φίλου του Ενκίντου, αποφασίζει ως απάντηση να αναζητήσει την αιώνια ζωή. Το έπος βασίζεται στην ζωή ενός κυβερνήτη που κυβερνούσε μεταξύ 2.800 και 2.500 π.κ.ε

Η πρώτη καταγεγραμμένη ιδέα του απείρου προέρχεται από τον Αναξίμανδρο, προσωκρατικό Έλληνα φιλόσοφο που έζησε στην Μίλητο. Χρησιμοποίησε την λέξη άπειρον που σημαίνει άπειρο ή απεριόριστο. Ωστόσο, ο πρώτος απολογισμός του απείρου στα μαθηματικά προέρχεται από τον Ζήνωνα τον Ελεάτη (490 – 425 π.κ.ε.), ο οποίος ήταν ένας από τους αρχαίους Έλληνες προσωκρατικούς φιλοσόφους στην Κάτω Ιταλία και μέλος της Ελεατικής Σχολής, που ίδρυσε ο Παρμενίδης. Ο Ζήνων ο Ελεάτης είναι γνωστός για τα τέσσερα παράδοξά του, τα οποία περιγράφονται ως ασύγκριτα διακριτικά και βαθιά.

Σύμφωνα με την παραδοσιακή άποψη οι Έλληνες της Ελληνιστικής Εποχής γενικά προτιμούν να διακρίνουν το δυναμικό άπειρο από το πραγματικό άπειρο. Για παράδειγμα, αντί να λένε ότι υπάρχει ένας άπειρος αριθμός πρώτων αριθμών, ο Ευκλείδης προτιμά αντ’ αυτού να λέει ότι υπάρχουν περισσότεροι πρώτοι αριθμοί από αυτούς που περιέχονται σε κάθε δεδομένη συλλογή πρώτων αριθμών. Ωστόσο, οι πρόσφατες ερμηνείες του αναγνώσματος Παλίμψηστο του Αρχιμήδη υπαινίσσονται ότι ο Αρχιμήδης είχε τουλάχιστον μια διαίσθηση για την πραγματική ποσότητα του απείρου.

Το Ινδικό μαθηματικό κείμενο Σουρύα Πρατζνάτι (Surya Prajnapti, 3ος-4ος αιώνας π.κ.ε.) κατατάσσει όλους τους αριθμούς σε τρεις ομάδες: αριθμήσιμα, αναρίθμητα, και άπειρα σύνολα. Κάθε ένα από αυτά χωρίστηκε σε τρεις τάξεις:

Αριθμήσιμα: χαμηλότερη, ενδιάμεση, και υψηλότερη
Αναρίθμητα: σχεδόν αναρίθμητα, πραγματικά αναρίθμητα, και αναρίθμητα αναρίθμητα
Άπειρα: σχεδόν άπειρα, πραγματικά άπειρα, απείρως άπειρα

Σε αυτό το έργο, διακρίνονται δύο βασικοί τύποι άπειρων αριθμών. Και στους δύο λόγους, φυσικό και οντολογικό, έγινε διάκριση μεταξύ asaṃkhyāta (“αμέτρητων, αναρίθμητων”) και ananta (“ατελείωτων, απεριόριστων”), μεταξύ αυστηρά οριοθετημένων και χαλαρά οριοθετημένων απείρων.

Ο Γκότφριντ Λάιμπνιτς, ένας από τους δημιουργούς του απειροστικού λογισμού, είχε ευρεία συνεισφορά στην κατανόηση του απείρου και την χρήση του στα μαθηματικά. Σύμφωνα με τον Λάιμπνιτς, το άπειρο και οι άπειρες ποσότητες ήταν ιδανικές οντότητες και όχι της ίδιας φύσης με σημαντικές ποσότητες, έχοντας τις ίδιες ιδιότητες, σύμφωνα με τον νόμο της συνέχειας.

Η πρώτη δημοσιευμένη πρόταση ότι το σύμπαν είναι άπειρο ήρθε από τον Thomas Digges το 1576. Οκτώ χρόνια αργότερα, το 1584, ο Ιταλός φιλόσοφος και αστρονόμος Τζιορντάνο Μπρούνο πρότεινε ένα απέραντο σύμπαν On the Infinite Universe and Worlds: «υπάρχουν αμέτρητοι ήλιοι; Αμέτρητες γαίες περιστρέφονται γύρω από αυτούς τους ήλιους κατά τρόπο παρόμοιο με τον τρόπο που οι επτά πλανήτες περιστρέφονται γύρω από τον ήλιο μας. Τα ζωντανά όντα κατοικούν αυτούς τους κόσμους”.

Κοσμολόγοι εδώ και καιρό προσπάθησαν να ανακαλύψουν αν υπάρχει άπειρο στο φυσικό μας σύμπαν: Υπάρχει ένας άπειρος αριθμός των αστεριών εκεί; Έχει το σύμπαν άπειρο όγκο; Μήπως το διαστημικό “πάει για πάντα”; Αυτό είναι ανοικτό ερώτημα της κοσμολογίας. Σημειώστε ότι το ζήτημα της ύπαρξης άπειρου έχει διαχωριστεί από το ζήτημα της ύπαρξης συνόρων. Η δισδιάστατη επιφάνεια της Γης, για παράδειγμα, είναι πεπερασμένη, αλλά δεν έχει καμία άκρη. Με το να κινείται σε ευθεία γραμμή, το ένα θα επιστρέψει τελικά στο ακριβές σημείο από το οποίο ξεκίνησε. Το σύμπαν, τουλάχιστον κατ’ αρχήν, θα μπορούσε να έχει μια παρόμοια τοπολογία. Αν ναι, θα μπορούσε κανείς να επιστρέψει τελικά στην αφετηρία ενός ατόμου μετά από ταξίδι σε μια ευθεία γραμμή μέσα στο σύμπαν για αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα.

Εάν, από την άλλη πλευρά, το σύμπαν δεν ήταν κυρτό σαν μια σφαίρα, αλλά είχε μια επίπεδη τοπολογία, θα μπορούσε να είναι τόσο απεριόριστο όσο και άπειρο. Η καμπυλότητα του σύμπαντος μπορεί να μετρηθεί μέσω πολυπολικών στιγμών στο φάσμα της κοσμικής ακτινοβολίας υποβάθρου. Μέχρι σήμερα, η ανάλυση των προτύπων ακτινοβολίας που καταγράφονται από το WMAP διαστημόπλοιο υπαινίσσεται ότι το σύμπαν έχει μια επίπεδη τοπολογία. Αυτό θα ήταν σύμφωνο με ένα άπειρο φυσικό σύμπαν.

Ωστόσο, το σύμπαν θα μπορούσε επίσης να είναι πεπερασμένο, έστω και αν η καμπυλότητα του είναι επίπεδη. Ένας εύκολος τρόπος για να κατανοήσουμε αυτό είναι να εξεταστούν παραδείγματα δύο-διαστάσεων, όπως τα βίντεο παιχνίδια, όπου τα στοιχεία που αφήνουν μία άκρη της οθόνης επανεμφανίζονται από την άλλη. Η τοπολογία αυτών των παιχνιδιών είναι δακτυλιοειδής και η γεωμετρία είναι επίπεδη. Πολλές πιθανώς οριοθετούνται, επίσης υπάρχουν επίπεδες δυνατότητες για τρισδιάστατο χώρο.

Η έννοια του απείρου επεκτείνεται επίσης και στην υπόθεση για το πολυσύμπαν, η οποία, όταν εξηγήθηκε από τους αστροφυσικούς, όπως ο Μίτσιο Κάκου, προϋπέθετε ότι υπάρχει ένας άπειρος αριθμός και η ποικιλία των συμπάντων.

Η προοπτική ως έργο τέχνης χρησιμοποιεί την έννοια των φανταστικών σημείων φυγής, ή των σημείων στο άπειρο, που βρίσκονται σε άπειρη απόσταση από τον παρατηρητή. Αυτό επιτρέπει στους καλλιτέχνες να δημιουργήσουν έργα που καθιστούν ρεαλιστικό τον χώρο, τις αποστάσεις, και τις μορφές. Ο καλλιτέχνης Μαουρίτς Κορνέλις Έσερ είναι ιδιαίτερα γνωστός για την πρόσληψη της έννοιας του απείρου στο έργο του με αυτόν ή με άλλους τρόπους.

Ο γνωστικός επιστήμονας Τζωρτζ Λάκοφ θεωρεί την έννοια του απείρου στα μαθηματικά και τις επιστήμες αλληγορία. Η προοπτική αυτή βασίζεται στην αλληγορία του απείρου (BMI), που ορίζεται ως η συνεχώς αυξανόμενη ακολουθία <1,2,3, …>.

Το σύμβολο ∞ χρησιμοποιείται συχνά ρομαντικά κι αντιπροσωπεύει την αιώνια αγάπη. Διάφοροι τύποι κοσμήματος διαμορφώνονται σε σχήμα άπειρο για τον σκοπό αυτό.

Όπως βλέπουμε το σχήμα είναι μια περίκλειστη φυλακή με προκαθορισμένα όρια.

Είμαστε φυλακισμένοι αγαπητέ μου αναγνώστη!!!

@Ηω Αναγνώστου / miastala.com 2010